HUGO VARGAS*
El problema es simple: colocar ocho damas en un tablero de ajedrez sin que se ataquen mutuamente.
Fue planteado en 1848 por Max Friedrich William Bezzel (1824- 1871), un ajedrecista alemán, que en realidad quería ser matemático, según su biógrafo Hans Siegfried. “A Bezzel le hubiera gustado estudiar matemáticas, pero sus amigos le aconsejaron que no lo hiciera, ‘porque las perspectivas para un matemático en Baviera eran terribles en ese momento’”.
El problema se volvió tan popular que se afirma que el extraordinario matemático Carl Friedrich Gauss trató de resolverlo. Pero fue Franz Nauck, en 1850, quien enunció la solución: las ocho reinas se pueden colocar de 92 formas diferentes. En la ilustración mostramos doce de esas maneras.
Los ajedrecistas y matemáticos siguieron con los cálculos. Para un tablero de 9 x 9 casillas encontraron 352 formas distintas de colocar las damas; en un tablero de 10 x 10 casillas son 724. El mayor cálculo realizado antes de la aportación de Simkin fue en un tablero 27 × 27 escaques. Y hay exactamente 234 907 967 154 122 528 maneras diferentes de colocar 27 damas sin que se ataquen unas a otras. El problema, sin embargo, persistía después de 150 años.
Pero el 21 de enero de este año, The Harvard Gazette, el órgano de prensa oficial de la Universidad de Harvard, informó que uno de sus matemáticos, Michael Simkin, había resuelto “en gran medida un problema de ajedrez de 150 años de antigüedad”. La BBC entrevistó a Simkin y explicó: “Supongamos que no es un número natural, como 1, 2, 8, 100 o un millón.
Ahora imaginemos un tablero de ajedrez con filas y columnas. ¿Cuántas maneras hay de colocar a las damas en el tablero para que no haya dos que se amenacen entre sí?”
En otras palabras, ¿cuántas formas hay de colocar a las damas en el tablero para que haya una reina en cada fila, una en cada columna y no más de una en cada diagonal? “El reto me cautivó”, afirmó el matemático.
Vislumbró la solución en una excursión a la montaña Wachusett, en Massachusetts, con su esposa e hija. Cuando llegó la hora de regresar, la niña estaba muy cansada y Simkin fue por el automóvil.
“Mientras caminaba solo y reflexionaba, me di cuenta de que el principal obstáculo en los intentos anteriores era asumir que las damas estaban distribuidas uniformemente en el tablero. Y en realidad, no lo están”.
Comprendió que la clave para contar el número de configuraciones de las damas es primero entender cómo “se ven”. “¿Están distribuidas uniformemente en el tablero? ¿Están agrupadas en el medio? ¿En las esquinas? ¿A los lados?”.
Por cada patrón posible de cómo pueden ser colocadas en el tablero, calculó el número de configuraciones en que las damas se ajustan a este patrón. Así, surge la pregunta definitiva: ¿cuál es el patrón que permite el mayor número de posicionamientos? “Es lo que los informáticos llaman —dice Simkin— un problema de optimización convexo.”
Simkin dio el paso siguiente y calculó que para tableros de ajedrez enormes (n por n casillas) y con muchas damas, hay alrededor de (0,143n)^n maneras de colocar las reinas sin que ninguna se amenace.
Jesús Fernando Barbero, matemático e investigador científico del Consejo Superior de Investigaciones Científicas de España, hizo el cálculo usando la ecuación de Simkin.
Y esto fue lo que dijo a la BBC: “Si queremos saber aproximadamente cuántas configuraciones hay para 1 000 reinas, donde está la n ponemos 1 000: 0.143 x 1000 = 143 y lo elevamos a 1 000.
El resultado da un número enorme, de más de 2 000 dígitos, pero muy cercano al valor real del número de configuraciones que hay para un tablero de tamaño 1 000 x 1 000 escaques”.
Con la ecuación final de Simkin se llega solo a un resultado aproximado, pues no es el número exacto de configuraciones. Pero es la cifra más cercana al número real que se puede obtener hasta ahora.
El logro de Simkin es significativo. “Básicamente, lo ha hecho con una precisión que nadie había alcanzado antes”, dijo Sean Eberhard, investigador posdoctoral de la Universidad de Cambridge, en un artículo de la revista Quanta. Es “de lo más realista que uno puede esperar”.
Simkin dice que la razón por la que la solución tomó “tanto tiempo” es porque la misma se basa en los avances recientes conseguidos en el campo de las matemáticas conocido como combinatoria probabilística, especialmente en lo que se refiere al análisis de algoritmos informáticos aleatorios.
Para él, la importancia es una mezcla de razones: “La principal es que hacer matemáticas es la combinación de creatividad, que se necesita para generar nuevos argumentos, y rigor, lo que significa que una vez que has probado un resultado, lo que tienes en la mano es un trozo de verdad absoluta, que no puede ser refutado”. Con el problema de las n reinas, dice Simkin, “se mejora nuestra comprensión de los algoritmos aleatorios, utilizados en casi todas las aplicaciones, por ejemplo, en el aprendizaje automatizado o aprendizaje de máquinas”, y también hay conexiones con otros campos, como el del diseño de circuitos.
El matemático de Harvard dio algunas pistas para quien quiera mejorar el resultado de las n damas en un tablero infinito. Asegura que utilizó análisis de algoritmos aleatorios, combinatoria probabilística, entropía, análisis funcional y optimización convexa.
